JEE Syllabus JEE Mathematics Syllabus Álgebra de números complexos, adição, multiplicação, conjugação, representação polar, propriedades de módulo e argumento principal, desigualdade de triângulo, raízes de cubo de unidade, interpretações geométricas. Equações quadráticas com coeficientes reais, relações entre raízes e coeficientes, formação de equações quadráticas com raízes dadas, funções simétricas das raízes. Progressões aritméticas, geométricas e harmónicas, médias aritméticas, geométricas e harmónicas, somas de progressões aritméticas e geométricas finitas, séries geométricas infinitas, somas de quadrados e cubos dos primeiros n números naturais. Logaritmos e suas propriedades. Permutações e combinações, Teorema binomial para um índice integral positivo, propriedades de coeficientes binomiais. Matrizes como um conjunto retangular de números reais, igualdade de matrizes, adição, multiplicação por um escalar e produto de matrizes, transposição de uma matriz, determinante de uma matriz quadrada de ordem até três, inverso de uma matriz quadrada de ordem até três , Propriedades dessas operações matriciais, matrizes diagonais, simétricas e simétricas e suas propriedades, soluções de equações lineares simultâneas em duas ou três variáveis. Regras de adição e multiplicação de probabilidade, probabilidade condicional, independência de eventos, cálculo da probabilidade de eventos usando permutações e combinações. Funções trigonométricas, sua periodicidade e gráficos, fórmulas de adição e subtração, fórmulas envolvendo múltiplos e sub-múltiplos ângulos, solução geral de equações trigonométricas. Relações entre lados e ângulos de um triângulo, regra senoidal, regra de coseno, fórmula de meio ângulo e área de um triângulo, funções trigonométricas inversas (valor principal apenas). Duas dimensões. Coordenadas cartesianas, distância entre dois pontos, fórmulas de seção, deslocamento de origem. Equação de uma linha reta em várias formas, ângulo entre duas linhas, distância de um ponto de uma linha. Linhas através do ponto de intersecção de duas linhas dadas, equação da bissetriz do ângulo entre duas linhas, simultaneidade de linhas, centroide, orthocentre, incentre e circumcentre de um triângulo. Equação de um círculo em várias formas, equações de tangente, normal e acorde. Equações paramétricas de um círculo, intersecção de um círculo com uma linha reta ou um círculo, equação de um círculo através dos pontos de intersecção de dois círculos e os de um círculo e uma linha reta. Equações de uma parábola, elipse e hipérbole em forma padrão, seus focos, diretrizes e excentricidade, equações paramétricas, equações de tangente e normal. Três dimensões . Direção cossenos e razões de direção, equação de uma reta no espaço, equação de um plano, distância de um ponto de um plano. Funções de valor real de uma variável real, em, em e funções de um para um, soma, diferença, produto e quociente de duas funções, funções compostas, valor absoluto, funções polinomiais, racionais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Limite e continuidade de uma função, limite e continuidade da soma, diferença, produto e quociente de duas funções, regra hospitalar de avaliação de limites de funções. Funções pares e ímpares, inversa de uma função, continuidade de funções compostas, propriedade de valor intermediário de funções contínuas. Derivada de uma função, derivada da soma, diferença, produto e quociente de duas funções, regra de cadeia, derivadas de funções polinomiais, racionais, trigonométricas, inversas trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Derivadas de funções implícitas, derivados até a ordem dois, interpretação geométrica da derivada, tangentes e normais, funções crescentes e decrescentes, valores máximos e mínimos de uma função, aplicações do Teorema de Rolles e Teorema do Valor Médio de Lagranges. Integração como processo inverso de diferenciação, integrais indefinidas de funções-padrão, integrais definidas e suas propriedades, aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo Integral. Integração por partes, integração pelos métodos de substituição e frações parciais, aplicação de integrais definidas à determinação de áreas envolvendo curvas simples. Formação de equações diferenciais ordinárias, solução de equações diferenciais homogéneas, variáveis método separável, equações diferenciais lineares de primeira ordem. Adição de vetores, multiplicação escalar, produtos escalares, produtos ponto e cruz, produtos triplos escalares e suas interpretações geométricas. JEE Chemistry Syllabus Tópicos gerais. O conceito de átomos e moléculas Teoria atómica de Daltons Conceito de mole Fórmulas químicas Equações químicas equilibradas Cálculos (com base no conceito de mole) envolvendo reações comuns de oxidação-redução, neutralização e deslocamento Concentração em termos de fração molar, molaridade, molalidade e normalidade. Estados gasosos e líquidos. Escala absoluta de temperatura, equação de gás ideal Desvio da idealidade, equação de van der Waals Teoria cinética dos gases, média, média quadrática e velocidades mais prováveis e sua relação com a temperatura Lei das pressões parciais Pressão de vapor Difusão de gases. Estrutura atômica e ligação química: modelo de Bohr, espectro do átomo de hidrogênio, números quânticos Dualidade onda-partícula, hipótese de Broglie Princípio de incerteza Quadro mecânico quântico do átomo de hidrogênio (tratamento qualitativo), formas dos orbitais s, p e d Configurações eletrônicas de elementos Até número atômico 36) Princípio de Aufbau Princípio de exclusão de Paulis e regra de Hunds Sobreposição orbital e ligação covalente Hibridização envolvendo orbitais s, p e d somente Diagramas de energia orbital para espécies diatômicas homonucleares Ligação de hidrogênio Polaridade em moléculas, momento dipolar Modelo VSEPR E formas de moléculas (linear, angular, triangular, quadrada planar, piramidal, quadrada piramidal, trigonal bipiramidal, tetraédrica e octaédrica). Energética. Primeira lei da termodinâmica Energia interna, trabalho e calor, trabalho pressão-volume Entalpia, lei de Hesss Calor da reação, fusão e vaporização Segunda lei da termodinâmica Entropia Energia livre Critério de espontaneidade. Equilíbrio químico . Lei de ação de massa Constante de equilíbrio, princípio de Le Chateliers (efeito de concentração, temperatura e pressão) Significado de DG e DGo em equilíbrio químico Produto de solubilidade, efeito iónico comum, pH e soluções tampão Ácidos e bases (conceitos de Bronsted e Lewis) Hidrólise de sais . Eletroquímica. Células eletroquímicas e reações celulares Potenciais de eletrodo Equação de Nernst e sua relação com a DG Série eletroquímica, fem de células galvânicas Faradays leis de eletrólise Condutância eletrolítica, condutância específica, equivalente e molar, lei de Kohlrauschs Células de concentração. Cinética química. Taxas de reacções químicas Ordem de reacções Taxa constante Reacções de primeira ordem Dependência de temperatura da constante de velocidade (equação de Arrhenius). Estado sólido . Classificação de sólidos, estado cristalino, sete sistemas de cristais (parâmetros celulares a, b, c, a, b, g), estrutura fechada de sólidos (cúbicos), embalagem em redes fcc, bcc e hcp Vizinhos mais próximos, raios iônicos, simples Compostos iónicos, defeitos pontuais. Soluções. Lei de Raoults Determinação do peso molecular pela diminuição da pressão de vapor, elevação do ponto de ebulição e depressão do ponto de congelação. Química de superfície. Conceitos elementares de adsorção (excluindo isotermas de adsorção) Colóides: tipos, métodos de preparação e propriedades gerais Idéias elementares de emulsões, surfactantes e micelas (apenas definições e exemplos). Química nuclear. Radioactividade: isótopos e isobares Propriedades dos raios a, b e g Cinética de decaimento radioactivo (excluindo as séries de decaimento), datação por carbono Estabilidade dos núcleos em relação à relação protón-nêutrons Breve discussão sobre as reacções de fusão e de cisão. Isolationpreparation e propriedades dos seguintes non-metals. Boro, silício, nitrogênio, fósforo, oxigênio, enxofre e halogênios Propriedades de alótropos de carbono (apenas diamante e grafite), fósforo e enxofre. Preparação e propriedades dos seguintes compostos: Óxidos, peróxidos, hidróxidos, carbonatos, bicarbonatos, cloretos e sulfatos de sódio, potássio, magnésio e cálcio Boro. Diborano, ácido bórico e bórax Alumínio: alumina, cloreto de alumínio e alumínio Carbono: óxidos e oxiácido (ácido carbônico) Silício: silicones, silicatos e carboneto de silício Nitrogênio: óxidos, oxiácidos e amônia Fósforo: óxidos, oxiácidos (ácido fosfórico, E fosfina Oxigénio: ozono e peróxido de hidrogénio Enxofre: sulfureto de hidrogénio, óxidos, ácido sulfuroso, ácido sulfúrico e tiossulfato de sódio Halogéneos: Ácidos hidrohálicos, óxidos e oxiácidos de cloro, pó branqueador Fertilizantes: comercialmente disponível (comum) NPK. Elementos de transição (série 3d). Composição dos compostos de coordenação: nomenclatura dos compostos de coordenação mononucleares, cis-trans e isomerismos de ionização, hibridação e geometrias de coordenação mononuclear Compostos (lineares, tetraédricos, quadrados planares e octaédricos). Preparação e propriedades dos compostos seguintes. Óxidos e cloretos de estanho e chumbo Óxidos, cloretos e sulfatos de Fe2, Cu2 e Zn2 Permanganato de potássio, dicromato de potássio, óxido de prata, nitrato de prata, tiossulfato de prata. Minérios e minérios. Minérios e minérios comuns de ferro, cobre, estanho, chumbo, magnésio, alumínio, zinco e prata. Metalurgia extrativa. Métodos de redução de carbono (ferro e estanho) Método de auto-redução (cobre e chumbo) Método de redução eletrolítica (magnésio e alumínio) Processo de cianeto (prata e ouro). Princípios da análise qualitativa. Grupos I a V (apenas Ag, Hg2, Cu2, Pb2, Bi3, Fe3, Cr3, Al3, Ca2, Ba2, Zn2, Mn2 e Mg2) Nitrato, halogenetos (excepto fluoreto), sulfato, sulfureto e sulfito. Conceitos . Isomerismo óptico de compostos contendo até dois centros assimétricos, (R, S e E, nomenclatura Z excluídos) Nomenclatura IUPAC de compostos orgânicos simples (apenas hidrocarbonetos, mono-funcionais Determinação da fórmula empírica e molecular de compostos simples (apenas método de combustão) Ligações de hidrogênio: definição e seus efeitos sobre as propriedades físicas de álcoois e compostos carboxílicos (por exemplo, compostos bi-funcionais) Conformação de etano e butano (projeções de Newman) Resonância e hiperconjugação Ácidos Efeitos indutivos e de ressonância na acidez e basicidade de ácidos e bases orgânicas Polaridade e efeitos indutivos em halogenetos de alquilo Intermediários reativos produzidos durante a clivagem de ligações homolíticas e heterolíticas Formação, estrutura e estabilidade de carbocations, carbanions e radicais livres. Preparação, propriedades e reacções dos alcanos. Série homóloga, propriedades físicas dos alcanos (pontos de fusão, pontos de ebulição e densidade) Combustão e halogenação de alcanos Preparação de alcanos por reacções de reacção de Wurtz e decarboxilação. Preparação, propriedades e reacções de alcenos e alquinos. Propriedades físicas dos alquenos e alcinos (pontos de ebulição, densidade e momentos dipolares) Acidez dos álcalis Hidratação catalisada por ácido dos alcenos e alcinos (excluindo a estereoquímica da adição e eliminação) Reacções de alcenos com KMnO4 e ozono Redução de alquenos e alquinos Preparação de alcenos e alquinos Alquinos por reacções de eliminação Reacções de adição electrofílicas de alcenos com X2, HX, HOX e H2O (Xhalogénio) Reacções de adição de alquinos Acetilidos metálicos. Reacções de benzeno. Estrutura e aromaticidade Reações de substituição eletrofílicas: halogenação, nitração, sulfonação, alquilação e acilação de Friedel-Crafts Efeito de grupos o-, m - e p-diretivos em benzenos monossubstituídos. Fenóis. Acidez, reações de substituição eletrofílica (halogenação, nitração e sulfonação) Reimer-Tieman reaction, Kolbe reaction. Reacções características das seguintes (incluindo as mencionadas acima). Hidratos de alquilo: reações de rearranjo de carbonato de alquilo, reações de Grignard, reações de substituição nucleofílica Álcoois: esterificação, desidratação e oxidação, reação com sódio, halogenetos de fósforo, ZnCl2conc-HCl, conversão de álcoois em aldeídos e cetonas Aldeídos e Cetonas: oxidação, Oxime e hidrazona condensação de aldol, reacção de Perkin reacção de Cannizzaro reacção de haloform e reacções de adição nucleofílicas (adição de Grignard) Ácidos carboxílicos: formação de ésteres, cloretos e amidas de ácidos, hidrólise de ésteres Aminas: basicidade de anilinas substituídas e aminas alifáticas, Reação com ácido nitroso, reação de acoplamento azo de sais de diazônio de aminas aromáticas, Sandmeyer e reações relacionadas de sais de diazônio reação de carbilamina Haloarenos: substituição aromática nucleofílica em haloarenos e haloarenos substituídos - (excluindo mecanismo de Benzyne e substituição de Cine). Carboidratos. Classificação mono e di-sacarídeos (glicose e sacarose) Oxidação, redução, formação de glicosídeos e hidrólise de sacarose. Aminoácidos e péptidos. Estrutura geral (apenas estrutura primária para peptídeos) e propriedades físicas. Propriedades e usos de alguns polímeros importantes. Borracha natural, celulose, nylon, teflon e PVC. Química orgânica prática. Detecção de elementos (N, S, halogéneos) Detecção e identificação dos seguintes grupos funcionais: hidroxilo (alcoólico e fenólico), carbonilo (aldeído e cetona), carboxilo, amino e nitro Métodos químicos de separação de compostos orgânicos monofuncionais do binário Misturas. JEE Physics Syllabus Geral. Unidades e dimensões, análise dimensional menor contagem, valores significativos Métodos de medição e análise de erros para as quantidades físicas pertencentes às seguintes experiências: Experimentos baseados na utilização de compassos de calibre vernier e micrômetro, determinação de g com pêndulo simples, módulo de Young por Searles , Calor específico de um líquido usando o calorímetro, distância focal de um espelho côncavo e uma lente convexa usando o método UV, velocidade do som usando a coluna da ressonância, lei da verificação de Ohms usando o voltímetro e amperímetro e resistência específica do material de um fio usando Metro ponte e caixa postal. Mecânica. Cinemática em uma e duas dimensões (coordenadas cartesianas apenas), projéteis Movimento circular (uniforme e não uniforme) Velocidade relativa. Newtons leis do movimento Marcos inerciais e uniformemente acelerados de referência Fricção estática e dinâmica Energia cinética e potencial Trabalho e poder Conservação do momento linear e energia mecânica. Sistemas de partículas Centro de massa e seu movimento Impulso Colisões elásticas e inelásticas. Lei da gravitação Potencial gravitacional e campo Aceleração devida à gravidade Movimento de planetas e satélites em órbitas circulares. Momento de inércia de corpos uniformes com formas geométricas simples Momento angular Torque Conservação do momento angular Dinâmica de corpos rígidos com eixo de rotação fixo Rolamento sem deslizar de anéis, cilindros e esferas Equilíbrio de Corpos rígidos Colisão de massas pontuais com corpos rígidos. Movimentos harmónicos lineares e angulares simples. Lei de Hookes, módulo de Young. Pressão em um fluido Lei de Pascais Flutuabilidade Energia superficial e tensão superficial, aumento capilar Viscosidade (Equação de Poiseuilles excluída), Lei de Stokes Velocidade terminal, Fluxo aerodinâmico, Equação de continuidade, Teorema de Bernoullis e suas aplicações. Movimento de ondas (ondas planas apenas), ondas longitudinais e transversais, Superposição de ondas progressivas e ondas estacionárias. Vibração de cordas e colunas de ar. Resonance Beats Velocidade do som em gases efeito Doppler (no som). Física térmica. Calorimetria, calor latente Calorimetria, calor latente Condução de calor em uma dimensão Conceitos elementares de convecção e radiação Newtons lei do resfriamento Direitas de gás ideais Calorias específicas (Cv e Cp para gases monatômicos e diatômicos) Processos isotérmicos e adiabáticos, módulo de volume de sólidos, líquidos e gases Gases Equivalência de calor e trabalho Primeira lei da termodinâmica e suas aplicações (somente para gases ideais). Radiação de corpo negro: poderes absorventes e emissivos Lei de Kirchhoffs, lei de deslocamento de Wiens, lei de Stefans. Eletricidade e magnetismo. Lei dos coulombes Campo elétrico e potencial Elétrico Energia potencial de um sistema de cargas pontuais e de dipolos elétricos em um campo eletrostático uniforme, Linhas de campo elétrico Fluxo de campo elétrico Lei de Gauss e sua aplicação em casos simples, como, encontrar o campo devido a infinitamente Fio reto longo, uniformemente carregado folha plana infinita e uniformemente carregada concha esférica fina. Capacitância Condensador paralelo com e sem dielétricos Condensadores em série e paralelo Energia acumulada num condensador. Corrente elétrica: lei de Ohms Disposições da série e do paralelo das resistências e das pilhas Leis de Kirchhoffs e aplicações simples Efeito de aquecimento da corrente. Lei de Biot-Savart e lei de Amperes, campo magnético perto de um fio reto de transporte de corrente, ao longo do eixo de uma bobina circular e dentro de uma força solenóide reta longa em uma carga em movimento e em um fio transportando corrente em um campo magnético uniforme. Momento magnético de um loop de corrente Efeito de um campo magnético uniforme em um loop de corrente Galvanômetro de bobina móvel, voltímetro, amperímetro e suas conversões. Indução eletromagnética . Lei de Faradays, lei de Lenzs self e indutância mútua circuitos RC, LR e LC com d. c. E a. c. fontes. Óptica. Propagação rectilínea da luz Reflexão e refração em superfícies planas e esféricas Reflexão interna total Desvio e dispersão da luz por prisma Lentes finas Combinações de espelhos e lentes finas Ampliação. Onda natureza da luz. Huygens princípio, a interferência limitada a Youngs dupla fenda experiência. Física moderna. Núcleo atômico Radiações alfa, beta e gama Lei de decaimento radioativo Constante de decaimento Meia-vida e vida média Energia de ligação e seu cálculo Processos de fissão e fusão Cálculo de energia nesses processos. Efeito fotoelétrico Teoria de Bohrs de átomos do tipo hidrogênio Raios X característicos e contínuos, Moseleys law de Broglie comprimento de onda de ondas de matéria. JEE Syllabus para Teste de Aptidão em B. Arch. Amp B. Des. Desenho à mão livre. Isto incluiria um desenho simples representando o objecto total na sua forma e proporção correctas, textura da superfície, localização relativa e detalhes das suas partes componentes na escala apropriada. Objetos utilizáveis comuns domésticos ou do dia-a-dia como mobília, equipamento, etc. da memória. Desenho geométrico. Exercícios em desenho geométrico contendo linhas, ângulos, triângulos, quadriláteros, polígonos, círculos, etc. Estudo de plano (vista de cima), elevação (vista frontal ou lateral) de objetos sólidos simples como prismas, cones, cilindros, cubos, etc. Percepção tridimensional. Compreensão e apreciação de formas tridimensionais com elementos de construção, cor, volume e orientação. Visualização através da estruturação de objetos na memória. Imaginação e sensibilidade estética. Composição exercício com dado elementos. Mapeamento de contexto. Verificação de criatividade através de teste incomum inovador com objetos familiares. Sentido de agrupamento ou aplicação de cores. Conhecimento arquitetônico. Tutorial de Tensão de RMS No nosso tutorial sobre a Forma de Onda de CA nós olhamos brevemente para o valor RMS Voltagem de um sinusoidal Onda e disse que este valor RMS dá o mesmo efeito de aquecimento como uma potência DC equivalente e neste tutorial vamos expandir esta teoria um pouco mais, olhando RMS tensões e correntes em mais detalhes. O termo 8220RMS8221 representa 8220Root-Mean-Squared8221. A maioria dos livros define isso como a quantidade de energia CA que produz o mesmo efeito de aquecimento que uma potência DC equivalente8221, ou algo semelhante ao longo dessas linhas, mas um valor RMS é mais do que apenas isso. O valor RMS é a raiz quadrada do valor médio (médio) da função quadrática dos valores instantâneos. Os símbolos usados para definir um valor RMS são V RMS ou I RMS. O termo RMS, SOMENTE refere-se a tensões senoidais que variam no tempo, correntes ou formas de onda complexas foram a magnitude da forma de onda muda ao longo do tempo e não é usado em DC análise de circuito ou cálculos foram a magnitude é sempre constante. Quando usado para comparar o valor de tensão RMS equivalente de uma forma de onda sinusoidal alternada que fornece a mesma energia elétrica a uma dada carga como um circuito DC equivalente, o valor RMS é chamado 8220 de valor efetivo8221 e é geralmente apresentado como: V eff ou I eff. Em outras palavras, o valor efetivo é um valor DC equivalente que informa quantos volts ou amps de DC que uma forma de onda sinusoidal variável no tempo é igual em termos de sua capacidade de produzir a mesma potência. Por exemplo, a fonte de alimentação doméstica no Reino Unido é 240Vac. Este valor é assumido para indicar um valor eficaz de 8220240 Volts rms8221. Isto significa então que a tensão rms sinusoidal das tomadas de parede de uma casa no Reino Unido é capaz de produzir a mesma potência positiva média de 240 volts de tensão CC estável, como mostrado abaixo. RMS Voltage Equivalent Então, como calculamos a tensão RMS de uma forma de onda sinusoidal. A tensão RMS de uma forma de onda sinusoidal ou complexa pode ser determinada por dois métodos básicos. O método gráfico 1608211160 que pode ser usado para encontrar o valor de RMS de qualquer forma de onda não-sinusoidal variando no tempo desenhando um número de ordenadas médias sobre a forma de onda. O método analítico 1608211160 é um procedimento matemático para encontrar o valor efectivo ou RMS de qualquer tensão ou corrente periódica utilizando o cálculo. Método Gráfico de Voltagem RMS Embora o método de cálculo seja o mesmo para ambas as metades de uma forma de onda CA, neste exemplo consideraremos apenas o semi-ciclo positivo. O valor efetivo ou rms de uma forma de onda pode ser encontrado com uma quantidade razoável de precisão, tomando valores instantâneos igualmente espaçados ao longo da forma de onda. A metade positiva da forma de onda é dividida em qualquer número de 8220n8221 porções iguais ou meados de ordenadas e quanto mais coordenadas médias forem desenhadas ao longo da forma de onda, mais preciso será o resultado final. A largura de cada coordenada média será, portanto, n o graus ea altura de cada coordenada média será igual ao valor instantâneo da forma de onda nesse momento ao longo do eixo x da forma de onda. Método gráfico Cada valor médio de uma forma de onda (a forma de onda de tensão neste caso) é multiplicado por si mesmo (quadrado) e adicionado ao próximo. Este método nos dá a 8220square8221 ou quadrado parte da expressão de tensão RMS. Em seguida, esse valor quadrático é dividido pelo número de coordenadas médias usadas para nos dar a parte média da expressão de tensão RMS, e em nosso exemplo simples acima, o número de ordenadas médias utilizadas foi doze (12). Finalmente, a raiz quadrada do resultado anterior é encontrada para nos dar a parte Raiz da tensão RMS. Então podemos definir o termo usado para descrever uma tensão rms (V RMS) como sendo a raiz quadrada da média do quadrado das coordenadas médias da forma de onda de tensão 8221 e isto é dado como: e para o nosso exemplo simples acima, o A tensão RMS será calculada como: Portanto, vamos supor que uma tensão alternada tem uma tensão de pico (V pk) de 20 volts e tomando 10 valores de coordenadas médias é encontrado para variar mais de um meio ciclo da seguinte forma: Em seguida, o valor da tensão RMS usando O método gráfico é dado como: 14.14 Volts. Método Analítico de Voltagem RMS O método gráfico acima é uma maneira muito boa de encontrar a tensão efetiva ou RMS (ou corrente) de uma forma de onda alternada que não é de natureza simétrica ou sinusoidal. Em outras palavras, a forma da onda se assemelha à forma de onda complexa. No entanto, ao lidar com formas de onda sinusoidal puro, podemos tornar a vida um pouco mais fácil para nós mesmos usando uma forma analítica ou matemática de encontrar o valor RMS. Uma tensão sinusoidal periódica é constante e pode ser definida como V (t) Vm. cos (969116) com um período de 084. Então podemos calcular o valor raiz-médio-quadrado (rms) de uma tensão sinusoidal (V (t) ) Como: Integrando com limites tomados de 0 a 360 o ou 8220T8221, o período dá: Dividindo ainda mais como 9690320322960T. A equação complexa acima também reduz para baixo também: Equação de tensão RMS Então, a tensão RMS (V RMS) de uma forma de onda sinusoidal é determinada pela multiplicação do valor da tensão de pico em 0.7071. Que é o mesmo que um dividido pela raiz quadrada de dois (160 18730 2 160). A tensão RMS, que também pode ser referida como o valor efetivo, depende da magnitude da forma de onda e não é uma função da freqüência de formas de onda nem do seu ângulo de fase. A partir do exemplo gráfico acima, a tensão de pico (V pk) da forma de onda foi dada como 20 Volts. Usando o método analítico acabado de definir, podemos calcular a tensão RMS como sendo: Note que este valor de 14.14 volts é o mesmo valor que para o método gráfico anterior. Em seguida, podemos usar o método gráfico de meados de ordens, ou o método analítico de cálculo para encontrar a tensão RMS ou valores de corrente de uma forma de onda sinusoidal. Observe que a multiplicação do pico ou valor máximo pela constante 0.7071. APENAS se aplica a formas de onda sinusoidais. Para formas de onda não sinusoidais o método gráfico deve ser usado. RMS Voltage Summary Então para resumir. Ao lidar com tensões alternadas (ou correntes) estamos diante do problema de como representamos uma magnitude de tensão ou sinal. Uma maneira fácil é usar os valores de pico para a forma de onda. Outro método comum é usar o valor efetivo que também é conhecido por sua expressão mais comum de Root Mean Square ou simplesmente o valor RMS. O valor quadrático médio, RMS de uma sinusoide não é o mesmo que a média de todos os valores instantâneos. A razão entre o valor RMS da tensão eo valor máximo da tensão é a mesma que a relação entre o valor RMS da corrente e o valor máximo da corrente. A maioria dos multímetros, seja voltímetros ou amperímetros, mede o valor RMS assumindo uma forma de onda sinusoidal pura. Para encontrar o valor RMS da forma de onda não sinusoidal um 8220True RMS Multimeter8221 é necessário. O valor RMS de uma forma de onda sinusoidal dá o mesmo efeito de aquecimento que uma corrente DC do mesmo valor. Isso é se uma corrente contínua, eu atravessa uma resistência de R ohms. A energia DC consumida pelo resistor como calor será portanto I 2 R watts. Em seguida, se uma corrente alternada, i160160Im. sin952 flui através da mesma resistência, a energia CA convertida em calor será: I 2 rms. R watts. Então, quando se tratar de tensões e correntes alternadas, elas devem ser tratadas como valores RMS, salvo indicação em contrário. Portanto, uma corrente alternada de 10 amperes terá o mesmo efeito de aquecimento que uma corrente contínua de 10 amperes e um valor máximo de 14,14 amperes. Tendo agora determinado o valor RMS de uma forma de onda de tensão alternada (ou corrente), no próximo tutorial vamos examinar o valor médio. V AV de uma tensão alternada e, finalmente, comparar os dois. Another fast fixo ponto de seno aproximação Então aqui estou eu, olhando para a frente a um fim de semana tranquilo agradável hang back, assistir algumas telly e talvez ler um ndash pouco, mas NNnnneeeEEEEEUUUuuuuuuuu Alguém teve que escrever um Artigo interessante sobre a aproximação do seno. Com um desafio no final. E usando um tipo ineficiente de aproximação. E agora, em vez de apenas relaxar, tenho de passar o fim de semana inteiro e na maior parte da semana descobrir uma maneira melhor de fazê-lo. Eu odeio quando isso acontece gtlt. Sarcasmo de lado, é uma leitura interessante. Enquanto a maneira padrão de calcular um ndash de seno através de um ndash de tabela de consulta funciona e funciona bem, há apenas algo insatisfatório sobre ele. A abordagem baseada em LUT é apenas hellip maçante. Sem inspiração. Covardemente. Inelegant. Em contraste, encontrar um algoritmo adequado para isso requer esforço e um mínimo de criatividade, então algo assim sempre piques meu interesse. Neste caso, sua aproximação senoidal. Estava me perguntando sobre isso quando eu fiz o meu artigo arctan. Mas percebi que seria necessário muitos termos para realmente valer a pena o esforço. Mas olhando para o Sr. Schrauts post (cujo site você deve visitar de vez em quando também há coisas boas lá), parece que você pode obter uma versão decente bastante rapidamente. O artigo centra-se em torno do trabalho encontrado no devmaster thread 5784. que derivou as seguintes duas equações: Essas aproximações funcionam muito bem, mas eu sinto que ele realmente usa o ponto de partida errado. Existem aproximações alternativas que dão resultados mais precisos em quase nenhum custo extra em complexidade. Neste post, Ill derivar alternativas de ordem superior para ambos. De passagem, Ill também falam sobre algumas das ferramentas que podem ajudar a analisar funções e, claro, fornecer algum código-fonte e fazer algumas comparações. 1.1 Simetria A primeira ferramenta analítica é a simetria. Simetria é realmente um dos conceitos mais poderosos jamais concebidos. Simetria de tempo leva à conservação da energia simetria do espaço leva à conservação do momento em um mundo 3D, simetria de direção dá origem à lei inversa quadrado. Em muitos casos, a simetria basicamente define os tipos de funções que você está procurando. Um tipo de simetria é a paridade, e as funções também podem ter paridade. Tome qualquer função f (x). Uma função é mesmo que f (menos x) f (x) é estranho se f (menos x) menos f (x). Isso pode não parecer impressionante, mas uma paridade de funções pode ser uma grande fonte de informações e uma maneira de verificar erros. Por exemplo, o produto de duas funções ímpares ou pares é uma função par, e um produto impar-par é ímpar (compare os produtos de número positivenegative). Se em um cálculo você perceber isso não é verdade, então você sabe que há um erro em algum lugar. Simetria também pode reduzir significativamente a quantidade de trabalho que você precisa fazer. Pegue a próxima soma, por exemplo. Se você encontrar algo como isto no selvagem em um teste, o seu primeiro pensamento pode ser ldquoWTF. Rdquo (assumindo que você não foge gritando). Como acontece, y 0, por razões de simetria. A função é ímpar, assim as partes esquerda e direita de x 0 cancelam-se. Em vez de realmente tentar fazer todo o cálculo, você pode apenas anotar a resposta em uma linha: ldquo0, cuz de symmetryrdquo. Outra propriedade das funções simétricas é que, se as dividir em expansões em série, as funções ímpares terão apenas termos ímpares e até mesmo funções terão termos pares. Isso se torna importante na próxima subseção. 1.2 Expansões polinomiais e de Taylor Cada função pode ser dividida em uma soma de funções mais gerenciáveis. Uma escolha bastante óbvia para essas sub-funções é o aumento das potências de x. Polinômios. O mais comum destes é Taylor série. Que usa um ponto de referência (a. f (a)) e extrapola para outro ponto a alguma distância h usando as derivadas de f no ponto de referência. Na forma de equação, ele se parece com isto: As chances são youve realmente usado parte da série Taylor na programação do jogo. Ao implementar o movimento com aceleração, você verá freqüentemente algo como a Eq 4. Estes são os três primeiros termos da expansão de Taylor. O tamanho do passo (h na Eq. 3 e Delta t na Eq. 4) é pequeno, os termos de ordem superior terão menos efeito no resultado final. Isso permite cortar a expansão em algum ponto. Isso deixa você com uma equação curta que você faz os cálculos com e algum tipo de termo de erro, composto da parte que você removeu. O termo de erro é geralmente ligado à ordem youve truncado a série quanto maior a ordem, mais precisa a aproximação. Se você trabalha fora da matemática para uma série de seno Taylor, com um 0 como o ponto de referência, você acaba com Eq 6. Note que todos os poderes pares são conspicuamente ausentes. Isto é o que eu quis dizer com a simetria sendo útil: uma função seno é estranha, portanto, só os termos estranhos são necessários na expansão. Mas há mais do que isso. A precisão é dada pela ordem mais alta no polinômio de aproximação. Isso mostra que há apenas nenhum ponto em sequer começando com qualquer polinômio mesmo-powered, porque você pode obter uma ordem extra basicamente para livre É por isso que usando uma aproximação quadrática para um seno é um tanto inútil um cúbico terá dois termos também, e Ser mais precisas para inicializar. Só porque sua curva não significa uma parábola é a aproximação mais adequada. 1.3 Encaixe de curva (e um exemplo de 3ª ordem) Usar a série de Taylor como base para uma aproximação de seno é bom, mas também tem um problema. A série pretende ter um número infinito de termos e quando você truncar a série, você vai perder alguma precisão. Naturalmente, isso era esperado, mas este não é o problema real, o problema real é que, se sua função tem alguns pontos cruciais que deve passar (o que é certamente verdadeiro para funções de trigonometria), o truncamento irá mover a curva para longe daqueles pontos. Para corrigir isso, você precisa usar um polinômio com coeficientes ainda desconhecidos (isto é, multiplicadores para as potências) e um conjunto de condições que precisam ser satisfeitas. Estas condições determinarão o valor exato dos coeficientes. A expansão de Taylor pode servir como base para sua aproximação inicial, e os termos finais devem ser bastante próximos aos coeficientes de Taylor. Vamos tentar isto para uma aproximação de seno de terceira ordem (cúbica). Tecnicamente, um polinômio de terceira ordem significa quatro incógnitas, mas. Uma vez que o seno é ímpar, todos os coeficientes para as potências pares são zero. Isso já cuida de metade dos coeficientes. Eu disse que a simetria era útil :). O polinômio de partida é reduzido à Eq. 7, que tem dois coeficientes aeb que devem ser determinados. Para a boa medida Ive adicionou também a derivada, como thats frequentemente útil ter também. Dois desconhecidos significa que precisamos de dois condicionais para resolver o sistema. As condições mais úteis são geralmente o comportamento nos limites. No caso de um seno, que significa olhar para x 0 andor x frac12pi. O último acontece a ser mais útil aqui, por isso vamos olhar para isso. Primeiro, sin (frac12pi) 1, então isso é bom. Além disso, sabemos que em frac12pi um seno é plana (uma derivada de 0). Esta é a segunda condição. As condições estão listadas na Eq. 8. Resolver este sistema é bastante direto e lhe dará valores para aeb. Que também são dadas na Eq. 8. Observe que os valores estão a aproximadamente 5 e 30 distância dos coeficientes de Taylor puro. Na Fig 1 você pode ver um número de aproximações diferentes para o seno. Observe que eu fiz uma pequena transformação de coordenadas para o eixo x: z x (frac12pi), então z 1 significa x frac12pi. O benefício disso ficará claro mais tarde. Como você pode ver, a expansão de Taylor de terceira ordem começa tudo para a direita, mas vira fora curso perto do fim. Em contraste, o ajuste de terceira ordem corresponde ao seno em ambos os pontos finais. Há também o ajuste de segunda ordem do site devmaster. Como você pode ver, a aproximação de terceira ordem está mais próxima. Fig. 1. Aproximações de seno usando polinômios de 3ª ordem e polinômios cúbicos parabólicos para o primeiro quadrante. Z x frac12pi Agora, lembre-se que os coeficientes da Eq. 8 não são os únicos que você pode usar. As condições definem o que os valores serão condições diferentes levam a valores diferentes. Por exemplo, usando a derivada em frac12pi, eu poderia tê-la usado em x 0. Isso forma o conjunto de equações da Eq 10 e, como você pode ver, os coeficientes são agora diferentes. Este conjunto é realmente mais preciso (um erro de 0,6 média em vez de 1,1), mas também tem algumas características bastante desagradável de ter um máximo que não está em frac12pi e vai mais de 1,0 isso pode ser realmente perturbador se você pretende usar o seno em algo Como rotação. 1.4 Variáveis sem dimensões e transformações de coordenadas Para maior precisão, deve-se usar um polinômio de ordem superior. Antes de fazer isso, porém, eu gostaria de mencionar mais um truque que pode tornar sua análise matemática consideravelmente mais fácil: variáveis adimensionais. O problema com a maioria das quantidades e equações são unidades. Metros, pés, litros, galões esses tipos de unidades. Unidades sugam. Para um, existem unidades diferentes para quantidades idênticas que podem ser uma dor total para converter e às vezes pode levar a um desastre. Literalmente. Então há o fato de que os tamanhos de unidade são basicamente escolhidos ao acaso e não têm nada a ver com a situação física theyre usado para. Então você tem valores estranhos para constantes como G em Newtons lei da gravitação universal. A velocidade da luz c ea constante de Planck. H. Manter o controle dessas coisas nas equações é irritante, especialmente porque eles tendem a se acumular e todo mundo preferiria que theyd apenas ir embora. Digite variáveis sem dimensão. A idéia aqui é que em vez de usar unidades padrão, você expressa quantidades como proporções para algum tamanho significativo. Por exemplo, na relatividade você obtém freqüentemente c. Velocidade sobre a velocidade da luz. As equações tornam-se muito mais simples se você apenas denotar velocidades como frações da velocidade da luz: beta v c. Usando beta nas equações simplifica-los imensamente e tem o bônus que você não está vinculado a qualquer velocidade específica unidade mais. A variável sem dimensão é um tipo de transformação de coordenadas. Em particular, é uma escala da variável original em algo mais útil. Outra transformação útil é a tradução: movendo a variável para uma posição mais adequada. Iremos abordar isso mais tarde, mas primeiro: um exemplo de variáveis adimensionais. Uma onda senoidal tem muitas linhas de simetria, todas girando em torno dos círculos de quarto. Devido a isso, o termo que continua a aparecer em todos os lugares é frac12pi. Este é o tamanho característico da onda. Usando z x (frac12pi), todos esses pontos importantes estão agora em valores z inteiros. Ter um em suas equações é geralmente uma coisa boa porque eles tendem a desaparecer em multiplicações. Olhe o que Eq 9 torna-se quando expressa em termos de z Doesnt que parecem muito mais bonito Ele vai mais profundo do que embora. Com unidades adimensionais, as unidades de suas medições estão em simplesmente deixar de matéria Para ângulos, isso significa que se você está trabalhando em radianos, graus ou brads, todos eles resultam na mesma fração de círculo, z. Isso torna os algoritmos de conversão para notação de ponto fixo consideravelmente mais fácil. 2 Derivações e implementações Na seção acima, discuti as ferramentas usadas para análise e deu um exemplo de uma aproximação cúbica. Nesta seção Ill também derivam aproximações de quarta e quinta ordem de alta precisão e mostram algumas implementações. Antes disso, porém, há alguma terminologia para passar. Uma vez que múltiplas aproximações diferentes serão cobertas, precisa haver uma maneira de separar todas elas. Em princípio, a aproximação senoidal será denominada S n. Onde n é a ordem do polinômio. Assim thatll dar S 2 a S 5. Também usarei S 4d para a aproximação de quarta ordem de devmaster. Na derivação da minha própria função de quarta ordem, Ill usa C n. Porque o que realmente será derivado é um coseno. Implementação de terceira ordem Vamos começar com o término da história da aproximação de terceira ordem. A equação principal para isto é a Eq. 11. Porque esta equação é ainda bastante simples, Ill fazemos isto uma implementação de ponto fixo. O principal problema de transformar uma função de ponto flutuante em um ponto fixo é manter o controle do ponto fixo durante os cálculos, sempre certificando-se de que não há transbordamento, mas também não há subfluxo. Esta é uma das razões pelas quais escrevi Eq 11 como é: usando parênteses aninhados você pode maximizar a precisão de cálculos intermediários e possivelmente minimizar o número de cálculos intermediários e possivelmente minimizar o número de operações para inicializar. Para contabilizar corretamente as posições de ponto fixo, você precisa estar ciente dos seguintes fatores: A escala do resultado (ou seja, a amplitude): 2 A A escala no interior dos parênteses: 2 p. Isso é necessário para evitar que as multiplicações transbordem. A escala angular: 2 n. Este é basicamente o valor de frac12pi no sistema de ponto fixo. Usando x para o ângulo, você tem z x 2 n. Preencher isso na Eq. 11 dará o seguinte: com r 2 n menos p e s n p 1minus A. Estes representam os turnos de ponto fixo que você precisa aplicar para manter tudo no nível. Com p tão alta como a multiplicação com x permitirá e as unidades padrão libnds leva para os seguintes números. Esse é o cálculo necessário para o primeiro quadrante, mas o domínio de um seno é infinito. Para obter o resto do domínio, você pode usar as simetrias do seno: a periodicidade 2pi e as simetrias espelhadas frac12pi. A primeira é cuidada fazendo z 4. Isso reduz o domínio para os quatro quadrantes de um círculo. A próxima parte é um pouco complicada, então preste atenção. Observe a Fig. 2. S 3 trabalha para o quadrante 0. Devido ao seu antisimétrico, também calculará corretamente o quadrante 3, que é equivalente ao quadrante menos1. Quadrantes 1 e 2 são o problema. Como você pode ver na Fig. 2, o que precisa acontecer é que esses quadrantes se espelhem nos quadrantes 0 e menos1. Uma reflexão de x em D é definida pela Eq 13. Nesse caso, isso significa que z 2 menos z Algum teste precisa ser feito para ver quando a reflexão deve ocorrer. Os números do quadrante em binário são 00, 01, 10, 11. Se você construir uma tabela de verdade em torno disso, você verá que um XOR dos dois bits fará o truque. Se você realmente quer mostrar, você pode combinar o módulo de periodicidade eo teste de quadrante fazendo a aritmética nos bits de topo. A implementação está concluída. Uma aproximação do seno através de uma terceira ordem aprox. Param x Ângulo (com 215 unidades de círculo) retorno Seno valor (Q12) s32 isinS3 (s32 x) S (x) x (3ltltp) - (xxgtgtr)) gtgt s n. Q-pos para quarto círculo 13 A. Q-pos para saída 12 p. Q-pos para parênteses intermediário 15 r 2n-p 11 s A-1-pn 17 estática const int qN 13. qA 12. qP 15. qR 2 qN-qP, qS qNqP 1 - qA x xltlt (30 - qN) shift Para o intervalo s32 completo (Q13-gtQ30) se ((x (xltlt 1)) lt 0) teste para o quadrante 1 ou 2 x (1 ltlt 31) - x retorno x (3 ltltqP) - (xxgtgtqR)) gtgt qS E , É claro, há uma versão de montagem também. Suas apenas dez instruções, que eu acho que é realmente menor do que uma implementação LUTlerp. ARM versão de montagem, usando n13, p15, A12 A aproximação seno através de uma terceira ordem aprox. Param r0 Ângulo (com 215 unidades de círculo) return Sine valor (Q12).arm. align. global isinS3a isinS3a: mov r0. R0. Lsl (30 - 13) teq r0. R0. Lsl 1 rsbmi r0. R0. 1 ltlt 31 mov r0. R0. Asr (30 - 13) mul r1. R0. R0 mov r1. R1. Asr 11 rsb r1. R1. 3 ltlt 15 mul r0. R1. R0 mov r0. R0. Asr 17 bx lr Oh espera, a exigência foi para a entrada a ser em Q12 radianos, Weeell direito, isso não é biggy. Você apenas tem que fazer a conversão x rarr z mesmo. Tomar, digamos, 2 20 (2pi). Multiplicar x por isso dá z como um número Q30 exatamente o que a primeira linha no código C. resultou em. Isso significa que tudo o que você tem a fazer é alterar a primeira linha para x 166886. NDS especial A versão de montagem fornecida acima usa instruções ARM padrão, mas uma das coisas interessantes é que o núcleo NDS ARM9 tem instruções especiais de multiplicação. Em particular, há a instrução SMULWx, que faz uma multiplicação wordhalfword, onde a halfword pode ser a metade palavra superior ou inferior do operando 2.O resultado principal é 32times16rarr48 bits longos, dos quais apenas os 32 bits superiores são colocados no destino registo. Efetivamente é como um b gtgt16 sem problemas de estouro. Como um bônus, seu também ligeiramente mais rápido do que o padrão MUL. Alterando ligeiramente os parâmetros, os fatores de mudança para baixo r e s podem ser feitos 16, encaixando perfeitamente com esta instrução, embora a precisão interna seja ligeiramente pior. Além disso, a colocação cuidadosa de cada instrução pode evitar o ciclo de bloqueio que acontece para multiplicações. O alternativo isinS3a () torna-se: Versão de montagem ARM especial, usando n13 e lotes de Q14 Uma aproximação senoidal através de um seno de terceira ordem, usando instruções especiais ARM9 param r0 Ângulo (com 215 unidades) retorno Sine valor (Q12).arm. align. global isinS3a9 isinS3a9: mov r0. R0. Lsl (30 - 13) x Q30 teq r0. R0. Lsl 1 rsbmi r0. R0. 1 ltlt 31 smulwt r1. R0. R0 yxx Q30Q14Q16 Q28 mov r2. 3 ltlt 13 B1432 sub r1. R2. R1. Asr 15 32-y2 Q14Q28Q142 smulwt r0. R1. R0 Q14Q14Q16 Q12 Tecnicamente apenas duas instruções menos, mas é um pouco mais rápido devido à diferença de velocidade entre MUL e SMULWx. 2.1 Alta precisão, quinta ordem A aproximação de terceira ordem ainda tem um erro substancial, portanto, pode ser útil usar um termo adicional. Esta seria a aproximação de quinta ordem, S 5. Ele e sua derivada são dados na Eq. 14. Para encontrar os termos, eu usarei novamente z em vez de x. As condições de nota são a posição e derivada em z 1 ea derivada em 0. Com estas condições, a aproximação deve comportar-se amigavelmente em ambas as arestas. Observe que essas equações são lineares em relação a. B e c. O que significa que ele pode ser resolvido através de matrizes. Tecnicamente este sistema de equações forma uma matriz 3x3, mas uma vez que a é já imediatamente conhecido, pode ser reduzido a um sistema 2 x 2. Eu vou lhe poupar os detalhes, mas isso leva aos coeficientes da Eq. 16. Observe a ausência completa de qualquer termo horrível 5 que teria aparecido se você tivesse decidido não usar termos adimensionais. A equação 17 é a aproximação quintic final na forma que é mais precisa e mais fácil de implementar. A implementação é basicamente uma extensão da função S 3 e deixada como um exercício para o leitor. 2.2 Alta precisão, quarta ordem Finalmente, uma aproximação de quarta ordem. Normalmente, eu nem sequer considerar isso para um seno (estranho função estranho poder série e tudo isso), mas desde o post devmaster usa-los e eles ainda parecem trabalhar, parece haver algo para eles, afinal. A razão pela qual essas aproximações funcionam é simples: eles realmente não se aproximam de um seno em todos eles aproximam uma co sine. E, por causa de todas as simetrias e paralelos com senos e cosenos, um pode ser usado para implementar o outro. Eq 18 é a transformação que você precisa executar para transformar um coseno em uma onda senoidal. Isso pode ser feito facilmente no início de um algoritmo. O que resta é derivar uma aproximação de coseno. Porque um co-seno é uniforme, só serão necessários poderes. A forma base e sua derivada são dadas na Eq. 19. Para as condições, olhamos mais uma vez z 0 e z 1, que se resume ao eqt das equações na Eq 20. Uma das coisas interessantes sobre as funções pares é que a Derivado em 0 é zero, assim que é um brinde. Um brinde muito importante, pois significa que uma das simetrias necessárias acontece automaticamente. O conjunto resultante de coeficientes é listado na Eq. 21. Note que b c 1, que pode ser útil mais tarde. A equação final para a aproximação de coseno de quarta ordem é a Eq 22. Apenas três MULs e dois SUBs agradáveis. Implementação A implementação em ponto flutuante da Eq. 22 é novamente muito fácil de mencionar aqui, então eu vou focar em variações de ponto fixo. Como com S 3. Você pode misturar e combinar posições de ponto fixo até conseguir algo que você gosta. Neste caso eu fico com Q14 para quase tudo para manter as coisas simples. O verdadeiro truque aqui é descobrir o que você precisa fazer sobre todos os outros quadrantes. Reduzir para quatro quadrantes é, novamente, fácil. Para o resto, lembre-se que a aproximação do cosseno calcula os quadrantes superiores e você precisa inverter o sinal para os quadrantes inferiores. Se você pensa em termos do parâmetro que um seno obtém, você verá que somente para semi-círculos estranhos o sinal precisa mudar. Rastrear isso pode ser feito com um único bitwise AND ou um deslocamento inteligente. Uma aproximação senoidal através de um cosseno de quarta ordem aprox. Ângulo param x (com 215 unidades) retorno Valor Seno (Q12) s32 isinS4 (s32 x) int c, x2, y constante estática int qN 13. qA 12. B 19900. C 3516 c xltlt (30 - qN) Semicírculo Info em carregar. X - 1 ltltqN seno - gt coseno calc x xltlt (31 - qN) Máscara com PI x xgtgt (31 - qN) Nota: SIGNED shift (para qN) x xxgtgt (2 qN - 14) xx2 Para Q14 y B - (xCgtgt 14) B - x2C y (1 ltltqA) - (xygtgt 16) A - x2 (B-x2C) retorno cgt 0. y. - y E uma versão de montagem ARM9 também. Como acontece, seus dois únicos instintos mais do que isinS3a9 (). ARM versão de montagem de S4 C4 (gama-1), usando n13, A12 e. Diversos. Uma aproximação senoidal através de um parâmetro de coseno de quarta ordem r0 Ângulo (com 215 unidades de círculo) retorno Seno valor (Q12).arm. align. global isinS4a9 isinS4a9: movs r0. R0. Lsl (31 - 13) r0x2 ltlt31 carryx2 sub r0. R0. 1 ltlt 31 r0 - 1,0 sin lt-gt cos smulwt r1. R0. R0 r1 xx Q31Q15Q16Q30 ldr r2, 14016 C (1-pi4) ltlt16 smulwt r0. R2. R1 Cx2gtgt16 Q16Q14Q16 Q14 adicionar r2. R2. 1 ltlt 16 B C1 rsb r0. R0. R2. Asr 2 B - Cx2 Q14 smulwb r0. R1. R0 x2 (B-Cx2) Q30Q14Q16 Q28 mov r1. 1 ltlt 12 sub r0. R1. R0. Asr 16 1 - x 2 (B-Cx2) rsbcs r0. R0. 0 Sinal de virada para semi-círculos ímpares. Derivando aproximações é bom e tudo, mas não há realmente nenhum ponto, a menos que você faça algum tipo de teste para ver o quão bem eles executam. Olharei duas coisas: precisão e alguns testes de velocidade. Para o teste de velocidade, eu só considero as funções dadas aqui junto com algumas tradicionais. O teste de precisão é feito apenas para o primeiro quadrante e em ponto flutuante, mas os resultados devem levar bem para um caso de ponto fixo. Finalmente, Ill mostrar como você pode otimizar as funções de precisão. 3.1 Velocidade de terceira e quarta ordem Para o teste de velocidade, calculei o seno em 256 pontos para x isin 0, 2pi). Haverá alguma sobrecarga de loop nos números, mas deve ser pequena. Os testes foram realizados na NDS. As funções sob investigação são as três funções S 3 e duas S 4 dadas anteriormente. Ive também testou a função de biblioteca de sintaxes de ponto flutuante padrão, o sinLerp libnds () e minha própria função isin () que você pode encontrar em arctan: sine. Os tempos cumulativos e médios podem ser encontrados na Tabela 1. Tabela 1. Seno ciclo-vezes (aproximadamente). A primeira coisa que deve ser clara é justamente por que não usamos o seno de ponto flutuante. Quero dizer, sério. Há também uma clara diferença entre as versões de montagem Thumb-compilado e ARM, sendo esta última significativamente mais rápida. Dentro das versões compiladas, acho interessante ver que os cálculos algorítmicos são realmente mais rápidos do que as implementações baseadas em LUTlerp. Eu acho que carregar todos esses números da memória realmente é uma droga. E, em seguida, há as versões de montagem. Uau. Comparado com a versão compilada, eles são duas vezes mais rápidos e até quatro vezes mais rápido que as funções baseadas em LUT. Os temporizadores de NDS medem meias ciclos Os tempos de ciclo da Tabela 1 não fazem sentido se você contar os ciclos de instrução. Por exemplo, para isinS3a a função overhead sozinho já deve estar em torno de 10 ciclos. A coisa aqui é que os números são retirados dos temporizadores de hardware, que usam a freqüência de barramento (33 MHz) ao invés da CPU ARM9 (66 MHz). Como tal, mede em meias-ciclos. Para obter detalhes, consulte gbatek: nds-timings. 3.2 Precisão A Fig. 4 mostra todas as aproximações em um gráfico. Ele só mostra um quadrante porque o resto pode ser recuperado pela simetria. Ive também escalado o seno e suas aproximações por 2 12 porque thats a escala que usual ponto fixo escala agora. E para ter certeza, sim, este é um gráfico diferente da Fig 1 é apenas difícil de dizer, porque as funções quarta e quinta ordem são praticamente idênticas à linha real seno. Para as aproximações de alta precisão, é melhor olhar para a Fig. 5, que mostra os erros. Aqui você pode ver claramente uma diferença entre S 4d e S 5. O último é aproximadamente 3 vezes melhor. Há também uma grande diferença entre o devmaster sine de quarta ordem e o meu próprio. A razão por trás disso é uma diferença nas condições. No meu caso, Ive fixado as derivadas em ambos os pontos finais, o que sempre resulta em uma sobre ou subestime. Os devmasters S 4d soltaram essas condições e minimizaram o erro. Eu também faço isso na próxima sub-seção. As tabelas 2 e 3 apresentam algumas estatísticas interessantes sobre as várias aproximações, nomeadamente os erros mínimo, médio e máximo. Ele também contém um Root Mean Square Deviation (RMSD), que é um tipo especial de distância. Se você considerar os dados-pontos como um vetor, o RMSD é o comprimento pitagórico médio para cada ponto. A Tabela 2 é normalizada para 2 12. Considerando que a Tabela 3 é a tabela para a escala senoidal de ponto flutuante tradicional. Os valores de RMSD são provavelmente os mais úteis de se olhar. A partir deles você pode ver que há uma grande diferença entre as funções de baixa precisão e alta precisão de cerca de um fator 60. E se você fizer o seu direito de matemática, tudo o que custa é uma multiplicação e uma adição, e talvez alguns turnos extras No caso do ponto fixo. Isso é uma pechincha. Comparado a isso, a diferença entre as funções ímpares e pares é um tanto escassa: apenas um fator três ou mais. Ainda assim, é algo. Se você olhar para a tabela de ponto fixo, você pode ver que o erro que você faz com S 4d e S 5 está em um único dígito. Isto significa que este é provavelmente suficientemente preciso para fins práticos. Combinado com o fato de que até mesmo os polinômios de quinta ordem podem ser feitos muito rápido, isso os faz valer a pena considerar sobre LUTs. Mesa 2 . Estatísticas de erro para 2 12 sin (x) aprox. 3.3 Otimização de aproximações de ordem superior A partir dos gráficos, você pode ver que S 4 e S 5 todos err no mesmo lado da linha de seno. Você pode aumentar a precisão da aproximação ajustando os coeficientes de tal forma que os erros sejam redistribuídos de uma maneira preferível. Dois métodos são possíveis aqui: atirar para uma média de erro zero, ou minimizar o RMSD. Tecnicamente minimizar o RMSD é padrão (se resume a otimização de mínimos quadrados), mas porque uma média zero permite uma solução analítica, mal uso que. Em qualquer caso, as diferenças nos resultados serão pequenas. Primeiro, pense no que significa uma média de uma função. A média de um conjunto de números é a soma dividida pelo tamanho do conjunto. Para funções, é a integral dessa função dividida pelo intervalo. Quando se quer uma média zero para uma aproximação, a integral da função e a da aproximação devem ser iguais. Com uma aproximação polinomial a um seno, obtemos: com a n reduzindo aos coeficientes dos polinômios que tínhamos antes. Isso pode ser usado como uma condição alternativa para a derivada em 0. Para S 4 e S 5. Você vai acabar com os seguintes coeficientes. Se você ainda está acordado e lembre-se do devmaster S 4d coeficientes, deve haver algo familiar sobre um 4. Sim, eles são praticamente idênticos. Se você otimizar S 4 para o RMSD, você realmente obter exatamente a mesma função como S 4d. A Tabela 4 mostra as estatísticas das aproximações originais e as novas versões otimizadas, S 4o e S 5o. Os números para S 4o são basicamente aqueles de S 4d visto anteriormente. Mais interessantes são os detalhes para S 5o. Os erros máximo e mínimo estão agora dentro de plusmn1. Isto é, esta aproximação dá valores que são no máximo 1 fora do seno Q12 adequado. Isso é tão bom quanto qualquer aproximação Q12 é capaz de obter. 4 Sumário e pensamentos finais Heres algumas coisas para tirar de tudo isso. Simetria é seu amigo. Ao construir uma aproximação polinomial, mais termos significam maior precisão. As propriedades de simetria da função aproximada permitem que você remova termos de consideração, simplificando a equação. As transformações de coordenadas são seus amigos também. Às vezes é muito mais fácil trabalhar em uma versão escalada ou movida do problema original. Se sua situação tem um comprimento característico (ou tempo, velocidade, qualquer) considere usar variáveis adimensionais: expressando parâmetros como razões do comprimento característico. Isso torna as unidades iniciais praticamente irrelevantes. Para ângulos, pense círculo-frações. Zero e um (0 e 1) são os melhores valores a ter em suas equações, como eles tendem a desaparecer com facilidade. Qualquer fórmula de aproximação terá coeficientes a serem determinados. Em geral, os termos da série de Taylor não são os melhores valores ajustados ligeiramente deslocados a partir destes termos será melhor como eles podem corrigir para o truncamento. Para determinar os valores dos coeficientes, defina algumas condições que precisam ser satisfeitas. Exemplos de condições são valores da função e sua derivada nos limites, ou suas integrais. Ou você pode wuss para fora e basta despejar a coisa no Excel Solver. Quando a conversão para ponto fixo, precisão e estouro vem para a briga. Se você conhece o domínio da função de antemão, você pode otimizar a precisão. Além disso, ajuda se você construir o algoritmo em uma espécie de forma recursiva em vez de um polinômio puro: não a x b x 2 mas x (a x b). Ordenado como este, cada novo termo adicional requer apenas uma multiplicação e uma adição extra. Para o trabalho de ponto fixo, SMULWx é o incrível. Mesmo uma quarta ordem (e presumivelmente a quinta ordem também) implementação polinomial em C é mais rápido do que os senos LUT-baseado no NDS. E as versões de montagem especializadas são consideravelmente mais rápidas ainda. A diferença na precisão de S 4 vs S 2 ou S 5 vs S 3 é enorme: um fator de 60. Indo de um mesmo para a próxima aproximação ímpar só ganha um fator 3. Id de vergonha esperava itd ser mais. Ao contrário do que eu pensei inicialmente, os polinômios mesmo-powered funcionam muito bem. Isto é porque theyre modificado realmente aproximações do coseno. Exercícios para o leitor Expresse a aproximação parabólica S 2 (x) da Eq 1 em termos de z. Não é difícil, eu prometo. Implement the fixed-point version of the fifth-order sine approximation, S 5 ( x ). For the masochists: derive the coefficients for S 5 ( x ) without dimensionless variables. That is to say, with the conditions at x frac12pi instead of z 1. Solve Eq 24 and Eq 25 for minimal RMDS. Also, try to derive an analytical form for minimal RMDS I think its exists, but it may be tricky to come up with the right form. 63 thoughts on ldquo Another fast fixed-point sine approximation rdquo Comment navigation Okay, Ive uploaded two files in a zip that you can take a look at. You can find them here . sine-aprx. xls is my original filed during writing the article. Despair all ye who enter here isins3.xlsx specifically covers isins3() as its given above. Theres some magic in column K and L to emulate integer overflow, but the rest is pretty straightforward. The sheet is set up for quadrant 0, but you can fiddle with cells B2 and B3 to change the interval and angle scale. 1). sin(18) 0.309, which translates to 4F1h which is a better match to 4BCh It is not clear to me how you got 4F1 which equation is been used to get 4F1h. sin(18) 0.3090170273 is clear to me. Fixed-point just means. apply a scaling factor to everything. A Q12 (12-bit fixed-point number) value means. scale everything by 2 12. So sin(18) 4096 1265 04F1h. 18 is 0.05 circle. Look up that value in the spreadsheet to see the real sin value and compare it with isins3. 2) I have another question which needs clarification, isnt x u16 when unit circle is been divided into Q15(32768) I answered to myself this way and I want to cross check with you, -32768 to 0 -- gives sine on negative x-axis(-2pi, -3pi2, - pi, - pi2, 0) 0 to 32768 -- gives sine on positive x-axis(0, pi2, pi, 3pi2, 2pi) just because s16 range is -32768 to 32767, just for one bit on the positive side, you want to use s32, which accomodates -32768 to 32768(do you agree that, this should be mentioned as Q16 instead of Q15) and similarly for -65536 to 65536(Q17). Is my interpretation correct No, this isnt how it works. You have a circle. What you want as the domain is a full run around the circle. For radians, thatd be 0, 2pi). Or minuspi, pi), it doesnt really matter. What matters is: you want one run around the circle. Everything else just maps back to that. When you normalize that run, you get a natural 0, 1) domain, where 0 means the starting point, frac14 means frac14 circle, etc. In Q15, that 0, 1) domain translates to 0, 2 15 ). What youre proposing is a -1, 1) domain, which covers two circles. Because everything just repeats, theres no need to cover positive and negative directions separately, because the sine over -1, 0) is identical to that over 0, 1) (and 1, 2), etc). This periodicity is automatic if you use 16-bit variables and a 2 16 - unit circle. - frac14-circle then automatically maps to frac34-circle, or vice versa via integer overflow. Comment navigation
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